La ley de potencia emerge incluso cuando utilizamos direcciones con diferentes saldos de cartera. Esta es otra firma de la invariancia de escala. Se construyeron tres niveles de direcciones: • Shrimps = direcciones con saldo total distinto de cero (el conjunto de datos completo) • Crabs = direcciones que poseen ≥1 BTC = (1–10 BTC) + (10–100 BTC) • Dolphins = direcciones que poseen ≥10 BTC = (10–100 BTC) solamente ________________________________________ Panel 1 — N(t) frente a tiempo, log-log Cada nivel se representa como log₁₀(addresses) frente a log₁₀(t_days). Una regresión lineal OLS en estos valores transformados logarítmicamente da el exponente de la ley de potencia n para cada nivel — la pendiente de la línea de mejor ajuste. Las líneas punteadas son esos ajustes. Las marcas del eje x se convierten nuevamente a años de calendario para legibilidad. Panel 2 — Metcalfe generalizada, log-log Precio frente a direcciones para cada nivel, ambas transformadas logarítmicamente. La regresión OLS da el exponente de Metcalfe α — cuán pronunciadamente el precio se escala con el número de direcciones en ese nivel. Dado que los titulares más grandes son más raros y más difíciles de agregar, su α es más pronunciada. Panel 3 — Modelo de precio combinado, log-log El resultado clave. Debido a que P ∝ N^α y N ∝ t^n, sustituyendo se obtiene P ∝ t^(n·α). Así, cada nivel produce una predicción independiente de precio frente a tiempo usando solo sus propios datos de direcciones — sin ajuste de precio directo. El intercepto es ic_combined = ic_Metcalfe + α × ic_time. Las tres líneas se representan contra el precio real (línea blanca) en ejes log-log. Nivel n (tiempo) α (Metcalfe) n × α Shrimps 3.060 1.831 5.604 Crabs (≥1 BTC) 1.383 4.021 5.564 Dolphins (≥10 BTC) 0.462 11.080 5.116 La convergencia emerge porque n y α se intercambian entre sí entre niveles. Cuando utilizas un nivel más difícil de alcanzar (titulares más grandes), n baja (esas direcciones crecen más lentamente) pero α sube (el precio es más sensible a cada ballena adicional). El producto n·α se mantiene aproximadamente constante en ~5.5–5.6 en los tres niveles — que es también el exponente de la ley de potencia global de Bitcoin del ajuste de precio directo. Este es el teorema generalizado de Metcalfe: el exponente de precio es invariante respecto a qué nivel de dirección utilices como proxy de adopción.